Tablas de doble entrada

Empezaremos por un caso sencillo, un experimento en el que se combinan dos experimentos sencillos. 

En este caso, utilizaremos las tablas de doble entrada. Para que lo comprendas mejor, será mejor poner un ejemplo.

Supón que lanzamos dos monedas a la vez ¿qué posibles resultados podemos obtener?

En el primer lanzamiento tenemos dos posible resultados: (cara, cruz)=$\{(c\}$ o $\{+\}$. Empezamos construyendo la tabla:

Cara
No cara

En el segundo lanzamiento, el resultado también es: (cara, cruz)=$\{c\}$ o $\{+\}$. La tabla nos queda:

	Cara	No cara
Cara
No cara

El espacio muestra se construye rellenando la tabla. 

	Cara	No cara
Cara	(c,c)	(c,+)
No cara	(+,c)	(+,+)

El espacio muestral será: $E=\{(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)\}$ 

Diagrama de árbol

En la fase "Más y más caracteres", trabajaste con los diagramas de árbol.

Vamos a utilizarlos ahora para el cálculo de probabilidades.

Cuando combinamos más de dos experimentos sencillos,

tenemos que usar la técnica de diagrama de árbol.

Vamos a ver en qué consiste con un ejemplo.

Tenemos una urna con bolas de colores azul, rojo.

El experimento consiste en hacer tres extracciones .

¿Cuál sería el espacio muestral?

El espacio muestral estaría formado por ocho sucesos:  $E=\{(A,A,A),((A,A,R),(A,R,A),(A,R,R),(R,A,A),(R,A,R),(R,R,A),(R,R,R)\}$ 

Tabla de doble entrada

Retomemos el ejemplo de lanzar dos dados y sumar las puntuaciones,

los diferentes sucesos que se pueden dar,

se recogen fácilmente en una tabla de doble entrada.

Observa:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento aleatorio?

¿Cuántos sucesos elementales forman el espacio muestral?

Como puedes observar, al realizar la tabla, estamos recogiendo todos los posibles resultados del experimento, es decir, estamos obteniendo el espacio muestral.

$E=\{2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12\}$

Está formado por 36 sucesos elementales.

b) Escribe los sucesos $A=Obtener\;suma\;par$  $B=Obtener\;suma\;nº primo$   $C=Obtener\;suma\;mayor\;que\;5$.

Los sucesos pedidos son:

$A=\{2,4,6,8,10,12\}$  $B=\{2,3,5,7,11\}$   $C=\{6,7,8,9,10,11,12\}$  

c) Calcula las siguientes probabilidades: $P(A)$,$P(B)$,$P(C)$.

           Suceso $A$, hay 6 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx0,17$

           Suceso $B$, hay 5 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{5}{36}=\approx0,14$

           Suceso $C$, hay 7 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{7}{36}=\approx0,19$

Diagrama de árbol

Considera una urna que contiene 4 bolas de color azul y 6 bolas de color rojo.

Vamos a hacer dos extracciones, devolviendo en cada una de ellas la bola extraída a la urna. 

a) Dibuja un diagrama de árbol que represente la situación.

b) Denominamos al suceso "sacar bola azul" mediante $A$ y al suceso "sacar bola roja" por $R$.

Determina las siguientes probabilidades:

1. Sacar en la primera extracción bola azul y en la segunda bola roja.
2. Sacar en la primera y segunda extracción bola roja.
3. Sacar bola roja en la primera extracción y azul en la segunda.
4. Sacar bola azul en la primera y segunda extracción.

a) El diagrama de árbol que representa la situación del ejercicio sería:

Observa como sobre cada rama está indicada la probabilidad de cada suceso elemental.

b) Fíjate bien en que los sucesos de los que hay que calcular la probabilidad en cada caso, están en ramas contiguas,

eso quiere decir que para hallar las probabilidades de los sucesos de esa rama,

habría que multiplicar en tres si las probabilidades de cada suceso elemental.

$P(1ªA y 2ª R)=\dfrac{2}{5}·\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{25}=0.24$ 

$P(1ªR y 2ª R)=\dfrac{3}{5}·\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0.36$

$P(1ªR y 2ª A)=\dfrac{3}{5}·\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}=0.24$

$P(1ªA y 2ª A)=\dfrac{2}{5}·\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}=0.16$