Diccionario
Frecuencia absoluta acumulada
Detectives Estadísticos
4.6.3. El número que reparte
1. Mediana
Pero, ¿es la media la única forma que tenemos de elegir un valor representativo?
Vamos a probar de otra forma.
Tomaremos todos los datos, los ordenaremos, y una vez que estén ordenados cogemos como valor representativo el que esté
justo en la mitad.
A ese número se le llama mediana.
La mediana es el valor de la variable que divide a la población en dos partes de igual tamaño. Es decir, el valor que “está en medio”.
Se representa con la abreviatura Me.
Vamos a distinguir dos situaciones:
- Hay un número N impar de datos, la mediana será el que ocupa el lugar central que es \(\dfrac{N+1}{2}\) . Si hay 31 datos la mediana será el dato que ocupa el lugar \(\dfrac{31+1}{2}=\dfrac{32}{2}=16\)
- Hay un número N par de datos, en ese caso hay dos valores centrales que ocupan los lugares \(\dfrac{N}{2}\) y \(\dfrac{N}{2}+1\). La mediana será la media de los valores que ocupen esos dos lugares. Si tenemos 40 datos ordenados, hacemos \(\dfrac{40}{2}=20\), los datos que ocupan los lugares centrales serán los que ocupan los lugares 20 y 21, la mediana es la media de estos.
Para calcular la mediana distinguimos dos casos.
Datos sin agrupar
Si los datos no están agrupados, tenemos que ordenarlos y tomamos el que quede en el centro, si el tamaño de la población es impar, o bien la media de los dos centrales, si el tamaño de la población es par.
Ejemplo 1: Número impar de datos.
Calcular la mediana de los siguientes datos: 3, 4, 6, 3, 4, 4, 7, 5, 6.
Ordenamos los valores:
3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7
Como tenemos 9 valores, la mediana es el valor central, ocupa el lugar \(\dfrac{9+1}{2}=5\). El quinto lugar lo ocupa el 4, por tanto, Me=4.
Ejemplo 2: Número par de datos.
Calcular la mediana de los siguientes datos: 2, 3, 5, 3, 4, 4, 7, 1, 6, 2
Ordenamos los valores:
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7
Como tenemos 10 valores, al ser un número par, habrá dos valores centrales que ocupan los lugares \(\dfrac{10}{2}=5\) y \(\dfrac{10}{2}+1=6\), que se corresponden con un 3 y un 4, la mediana es la media de estos valores.
\[ Me=\dfrac{3+4}{2}=3,5 \]
Datos agrupados
Si los datos vienen dados en una tabla vamos a añadir una nueva columna con las frecuencias absolutas acumuladas, Ni. En esta columna iremos sumando cada frecuencia absoluta con las acumuladas hasta ella. El primer dato de esta columna coincide con la frecuencia absoluta de la primera modalidad y el último con el total de datos.
Ejemplo de cálculo de la mediana con valores agrupados:
Calcular la mediana de los siguientes datos agrupados.
| Días que queremos irnos de viaje | Frecuencia absoluta ni |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
| 5 | 8 |
| 6 | 6 |
| 7 | 4 |
| Totales | 30 |
Añadimos una nueva columna con las frecuencias absolutas acumuladas. Para ello, sumamos la frecuencia absoluta de cada valor a la suma de las frecuencias de los valores anteriores.
Como el tamaño de la población es 30, número par, los valores centrales serán los que ocupen los lugares \(\dfrac{30}{2}=15\) y \(\dfrac{30}{2}+1=16\).
| Días que queremos irnos de viaje | Frecuencia absoluta ni | Frecuencia absoluta acumulada Ni |
| 3 | 5 | 5 |
| 4 | 7 | 5+7=12 |
| 5 | 8 | 12+8=20 |
| 6 | 6 | 20+6=26 |
| 7 | 4 | 26+4=30 |
| Totales | 30 |
Vamos a interpretar la información que ofrece la columna de frecuencias absolutas acumuladas. Los cinco primeros valores de la variable son 3, del sexto al duodécimo son 4, del décimo tercero al vigésimo son 5 , del vigésimo primero al vigésimo sexto son 6 y del vigésimo séptimo al trigésimo son 7.
Los valores que nos dan la mediana son los que ocupan los lugares 15 y 16, en ambos casos son 5, por tanto Me=5.
Definición
Es el resultado de sumar las frecuencias absolutas hasta un determinado valor.
Ejemplo
En la imagen la frecuencia absoluta acumulada hasta el tercer valor, es la suma de las frecuencias absolutas del primer valor, el segundo y el tercero. 5+7+8=20.
Lectura facilitada
Primero coge todos los datos.
Después ordena todos esos datos.
Por ejemplo: de menor a mayor.
Ahora, busca el valor que está en la mitad.
Ese número que está en la mitad se le llama mediana.
La mediana es el valor de la variable del individuo
que divide a la población en dos partes.
La mediana es el individuo que está en medio.
La mediana se representa con Me.
Para calcular la mediana lo podemos hacer de dos formas:
Datos sin agrupar
Ordena a las personas.
- Si el tamaño de la población es impar,
elige la persona que está en el centro.
- Si el tamaño de la población es par,
calcula la media de las dos personas del centro.
Ejemplo 1: Número impar de datos.
Calcula la mediana de los siguientes datos: 3, 5, 6, 3, 4, 5, 7, 5, 6.
Ordena los valores:
3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Hay 9 valores. La mediana es el valor central.
El valor central del ejemplo es 5.
Me= 5.
Ejemplo 2: Número par de datos.
Calcula la mediana de los siguientes datos: 3, 5, 6, 3, 4, 4, 7, 8, 6, 7
Ordena los valores:
3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8
Hay 10 valores. La mediana es la media de los valores centrales.
Me= 5 + 6 dividido entre 2
Me= 11 dividido entre 2 = 5,5
Me= 5,5
Datos agrupados
Añade una nueva columna en la tabla.
La columna se llama frecuencias absolutas acumuladas. Se representa con Ni.
Suma cada frecuencia relativa con la frecuencia acumulada.
El dato que aparece en primer lugar coincide con la frecuencia absoluta.
Busca el valor de la variable del individuo que está en el centro.
Divide entre dos el tamaño de la población.
Busca el valor del resultado en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
Ejemplo: Cómo se calcula la mediana con valores agrupados.
Agrupados:
Calcula la mediana de la siguiente variable
| DÍAS QUE QUEREMOS IRNOS DE VIAJE | FRECUENCIA ABSOLUTA ni |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
| 5 | 8 |
| 6 | 6 |
| 7 | 4 |
| Totales | 30 |
Añade una nueva columna con las frecuencias absolutas acumuladas.
| DÍAS QUE QUEREMOS IRNOS DE VIAJE | FRECUENCIA ABSOLUTA ni | FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA Ni |
| 3 | 5 | 5 |
| 4 | 7 | 5 + 7 = 12 |
| 5 | 8 | 12 + 8 = 20 |
| 6 | 6 | 20 + 6 = 26 |
| 7 | 4 | 26 + 4 = 30 |
| Totales | 30 |
El tamaño de la población es 30.
Divide 30 entre 2 y obtienes 15.
Localiza al individuo 15 en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
Mira de nuevo la tabla.
Observa que la persona 15 tiene 5 como valor de la variable.
| DÍAS QUE QUEREMOS IRNOS DE VIAJE | FRECUENCIA ABSOLUTA ni | FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA Ni |
| 3 | 5 | 5 |
| 4 | 7 | 5 + 7 = 12 |
| 5 | 8 | 12 + 8 = 20 |
| 6 | 6 | 20 + 6 = 26 |
| 7 | 4 | 26 + 4 = 30 |
| Totales | 30 |
Notación matemática
Recuerda que las frecuencias absolutas las notamos como ni
Las frecuencias absolutas acumuladas las notamos como Ni.
2. ¿Jugamos a repartir?
¡Anímate a elegir más de una de las siguientes opciones de esta actividad!. En cada una de ellas descubrirás las características y la utilidad de los mediana para interpretar datos de una encuesta.
Opción A: Tú también puedes repartir
Mediana en una secuencia de números
La mediana se representa por Me y es el "número en el medio" de una lista de números ORDENADA, luego para poder calcular la mediana, antes hay que ordenar la lista de números que tengamos. Vamos a verlo en diferentes ejemplos muy sencillos:
20, 12, 25, 34, 15
¿Cuántos datos tenemos? como puedes observar, tenemos 5 datos.
¿Están ordenados? No, luego lo primero es ordenarlos.
12, 15, 20, 25, 34
Ahora sí están ordenados ¿verdad?. Como tenemos 5 datos ¿cual de ellos está en el medio? sí, efectivamente el 20 está en el centro y deja a dos números a un lado y a otro.
12, 15, 20, 25, 34
Luego la mediana es 20 y eso lo ponemos de forma matemática así: Me=20
Fíjate que tenemos un número impar de elementos, 5 datos, esto hace que podamos tener un número "en el medio", ya que podemos dejar dos a un lado y dos a otro. ¿Qué pasaría si tengo un número par de elementos? Eso es, que "en el medio" tenemos en vez de un número, dos. Vamos a ver un ejemplo con los mismos números de antes pero añadimos uno más:
20, 12, 25, 34, 15, 23
¿Cuántos datos tenemos? ahora tenemos 6 datos.
¿Están ordenados? No, luego procedemos como en el apartado anterior ordenando los valores.
12, 15, 20, 23, 25, 34
Ahora quedan dos números "en el centro" a los que vamos a llamar el "par central" y son el 20 y el 23 ¿cual de ellos es la mediana? la mediana será la media entre los dos. Es decir sumamos los dos números y dividimos entre dos:
\( \displaystyle \frac {20+23} {2}=21,5 \)
Luego la Me=21,5
Mediana con datos organizados en tablas
La organización de los datos en vez de en una secuencia, puedes encontrártela en forma de tabla, en la que una columna está el dato y en otra columna está la frecuencia absoluta, por ejemplo:
| Días que queremos irnos de viaje | Frecuencia absoluta ni |
| 2 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 6 |
| 8 | 3 |
| Totales | 17 |
¿Cómo calculamos ahora la mediana?. Nos ayudamos de la columna de Frecuencia absoluta acumulada, se representa por Ni y se construye sumando las frecuencias absolutas hasta el valor, así por ejemplo N3=n1+n2+n3
| Días que queremos irnos de viaje | Frecuencia absoluta ni | Frecuencia absoluta acumulada Ni |
| 2 | 3 | 3 |
| 4 | 5 | 5+3=8 |
| 5 | 6 | 6+5+3=14 |
| 8 | 3 | 3+6+5+3=17 |
| Totales | 17 |
Como el total de datos es 17 que es impar, entonces hay un dato que es la mediana. ¿Cuál es?, pues el que deja 8 a un lado y ocho a otro lado, es decir el que ocupa la posición novena. Si nos fijamos en la columna de Ni el dato noveno está en la tercera fila, es decir que Me=5
Si el total de datos fuese par, habría que buscar cuales son el par central fijándonos en la frecuencia absoluta acumulada, que nos ayuda a ello.
Número de veces que se repite un dato
Tiene que coincidir con la última frecuencia acumulada
Opción B: Ahora con pistas
Considera el siguiente conjunto de datos ya ordenados
1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7
Si los organizamos en una tabla, fíjate cómo el 1 aparece 4 veces (frecuencia absoluta), el 3 aparece 5 veces y así con todos, completa la tabla y calcula la mediada:
Opción C: Paso a paso hasta la mediana
Opción D: ¿Quién tiene la razón?
¡¡Vaya discusión que tiene montada Carlos (3ºA) y Jorge (3ºB) a cuenta de mediana!! Resulta que han estado preguntando a la gente que ha ido a clase hoy cuántos días han faltado al Instituto en todo el año y la respuestas han sido:
3ºA:
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9
3ºB:
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
Retroalimentación
Verdadero
¡¡Os he querido liar!! Si bien es cierto que los datos numéricos están bien, 3ºA tiene de mediana 7 y 3ºB de mediana tiene 6,5 lo cierto es que Carlos no tiene razón con lo que dice después, ya que no es 7 porque es el dato que más se repite. Es 7 porque es el "dato central".
Eso es la moda
Opción E: Vórtice temporal
Ya sabemos lo que es la mediana y hemos practicado cómo hallarla, pero justo en este instante un vórtice temporal ha pasado encima de ti y ha provocado que viajes al futuro 20 años y te encuentras delante de una clase porque eres profesor o profesora de matemáticas. Ves anotado en la pizarra lo siguiente:
Encuentra una variable de la que tengas al menos 15 datos y cuya Me=18
Tienes que inventar un problema para que con los datos que les proporciones a tus alumnos y alumnas el resultado final para la mediana sea justo el que tienes apuntado en la pizarra.
Opción F: Reflexiona
En los ejercicios anteriores hemos calculado la moda, media y mediana de la variable "días de viaje". ¿Qué valor tomarías en tu elección y por qué?
Kardia dice ¿A que no te has preguntado...?
Para acordarte de lo que es la mediana, recuerda que cuando nos vamos de vacaciones y con el coche circulamos sobre una autovía o una autopista podemos ver la siguiente imagen:
¿Cómo se llama la parte central verde de esta foto?. Efectivamente, MEDIANA y ¿qué hace?. Dividir en dos partes iguales la autovía o autopista, dos carriles a un lado y otros dos a otro.
En matemáticas es igual, deja un 50% de datos a un lado y otro 50% a otro.
Clavis dice Recuerda lo valioso
Hasta aquí hemos visto las medidas de tendencia central. ¿Te das cuenta de que es mucho más cómodo recordar un valor que no todos los datos? Así podemos centrarnos en los datos más importantes y dejar un poco de lado los demás.
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